"Два милиционера несут диван": забавные теоремы и задачи

9 августа 2013
РИА "Новости"

Французский математик Эмиль Борель в 1913 году опубликовал в престижном журнале Journal de Physique Theorique et Appliquee небольшое эссе под названием "Статистическая механика и необратимость". Именно это эссе можно смело считать первой научной работой о литературных способностях обезьян, хотя ни приматы, ни художественные тексты там не упоминаются.
Теорема об обезьяне
Разумеется, сам Борель писал о неких абстрактных генераторах случайных последовательностей букв, которые за бесконечное количество времени неизбежно напечатают текст всех книг всех библиотек мира. Но прославилась на весь мир эта идея уже в другом виде.
С подачи физиков Артура Эддингтона и Джеймса Джинса, писателя Хорхе Луиса Борхеса и многочисленных их последователей она теперь звучит так: если взять бесконечное количество бессмертных обезьян и посадить их за пишущие машинки, которые нельзя сломать, рано или поздно они напечатают любой заданный текст — например, "Гамлета" Уильяма Шекспира.
К символическому столетию знаменитой теоремы о бесконечных обезьянах сотрудник Математического института имени Стеклова, руководитель проекта "Математические этюды" Николай Андреев помог РИА "Новости" составить подборку задач и теорем, которые своими забавными названиями добавляют в изучение такой серьезной дисциплины, как математика, капельку юмора.

Теоремы из холодильника
Математики — тоже люди, у них тоже бывают обеденные перерывы, и поэтому пара теорем в нашей подборке будут весьма "аппетитными". Например, очевидно, что любого математика, которому когда-либо приходилось делиться своим бутербродом с другим математиком, рано или поздно заинтересует вопрос: всегда ли можно разделить сэндвич на две одинаковые части одним разрезом? На этот вопрос утвердительно отвечает теорема о бутерброде с ветчиной, согласно которой любые N объектов в N-мерном пространстве можно разделить ровно пополам по объему одной (N-1)-мерной гиперплоскостью.
Если быстрым перекусам математик предпочитает итальянскую кухню, то ему наверняка знакома теорема о пицце. Согласно этой теореме, если круглую пиццу резать на 8, 12, 16, 20 и так далее кусков, проводя все разрезы через одну произвольную точку под одинаковыми углами, то сумма площадей нечетных кусков окажется равной сумме площадей четных. Причем эта произвольная точка может находиться совсем не в центре пиццы: площадь кусочков тогда будет разной, но ее все равно можно будет поровну поделить на две команды математиков.

Теорема о причесывании ежа
Названия этой теоремы в русском и английском языках явно соперничают за звание самых странных: если русские математики причесывают ежика, то английские mathematicians говорят о некотором "волосатом мячике" (hairy ball). Формально звучит она так: не существует непрерывного касательного векторного поля на сфере, которое нигде не обращается в ноль.
На практике это означает, что если вы берете свернувшегося в клубок ежа (или волосатый мячик), причесать его так, чтобы он нигде не кололся, не получится: где-то все равно образуется "хохолок" или "вихор". Интересно, что из этой же теоремы следует, что если где-то на Земле дует ветер, значит, в то же время есть и как минимум одна точка, где его нет вообще.

Деньги на доску
Известный советский и российский математик Владимир Арнольд в 1956 году придумал задачу, которую ему, возможно, подсказали вполне жизненные обстоятельства: можно ли прямоугольный лист бумаги сложить в плоский многоугольник так, чтобы его периметр был больше периметра исходного листа? Тогда советский рубль был бумажным, поэтому складывали — или мяли — в задаче именно его, хотя на Западе она известна и как задача о салфетке Маргулиса, по фамилии другого ученого, Григория Маргулиса.
Бумажные рубли в начале 1990-х годов вышли из обращения, а задача о мятом рубле на тот момент так и не была решена, хотя за нее взялись и математики, и любители оригами. Строгое ее решение появилось уже в нынешнем веке, и вывод таков: теоретический рубль так "помять" можно, но на практике столько раз сложить даже самую тонкую бумагу просто не получится.

Теорема о двух милиционерах
Строго говоря, это утверждение считается леммой — как бы "вспомогательной" теоремой, полезной не столько сама по себе, а для доказательства других утверждений. Зачем в ее названии нужны милиционеры, знает любой, кто изучал в университете минимальный курс математического анализа.
Допустим, у нас есть математическая функция, как бы "зажатая" между двумя другими функциями, то есть ее значение для всех аргументов в некоторой области не меньше значения одной функции и не больше значения другой. Если обе "крайние" функции в этой области имеют одинаковый предел, то точно такой же предел имеет и средняя функция.
Иначе говоря, если два милиционера держат между собой преступника и при этом идут в камеру, то преступник тоже туда идет. Характерно, что правоохранительная аналогия, видимо, оказалась настолько понятной, что и в других языках в названии этой теоремы фигурируют полицейские, жандармы, городовые и другие официальные лица.

Математика и личная жизнь
Как мы помним, математики — тоже люди, поэтому еще одна не менее жизненная математическая задача связана с выбором спутника жизни. Допустим, невеста хочет выбрать лучшего из N претендентов на ее руку и сердце, при этом оценивать кавалеров при встрече с ними она может только в случайном порядке, строго по одному и лишь один раз, а сообщать о своем решении — принять или отвергнуть предложение — сразу по итогам встречи. Как в такой "очереди" из женихов выбрать лучшего и не остаться незамужней?
Как пишет математик, профессор МГУ Сабир Гусейн-Заде, из простенькой на первый взгляд задачи о разборчивой невесте, придуманной в середине прошлого века Мартином Гарднером, в итоге вырос новый раздел математики — теория оптимальной остановки случайных процессов. В самом простом варианте формулировки задачу в 1963 году решил математик Евгений Дынкин, а проблемами, связанными с обобщением этой задачи, в своей научной карьере занимался Борис Березовский.

Грубая математическая сила
Со следующей задачей вполне мог сталкиваться любой читатель, хотя бы раз в жизни покупавший новую мебель или переезжавший на новое место жительства. Допустим, у вас есть коридор условной постоянной ширины 1, который делает поворот ровно под прямым углом. Вы хотите пронести в комнату, куда ведет этот коридор, диван как можно большей площади. Какова эта площадь?
Задача о перемещении дивана, сформулированная канадским математиком Лео Мозером в 1966 году, в общем виде остается нерешенной, потому что найти точное значение максимальной площади, "константы дивана", пока не удалось никому. Довольно большой диван условной площадью примерно 2,2, по форме похожий на телефонную трубку, предложил британец Джон Хэммерсли, но затем его коллеги показали, что и это не предел.

Другие задачи
Еще один глубоко практический класс задач знаком любому туристу. Если у вас есть рюкзак определенной вместимости и набор вещей, у каждой из которых есть вес и ценность, как собрать вещи так, чтобы их общая ценность была максимальной? Для решения задачи о рюкзаке в общем виде пока найдены либо очень точные алгоритмы, которые для очень больших рюкзаков превратят даже абстрактные сборы в кошмар, либо приближенные — работающие быстро, но не дающие оптимального решения.
Наконец, если знакомый математик попросит вас помочь ему донести из библиотеки до дома доказательство "теоремы о классификации простых конечных групп", не соглашайтесь, потому что это просьба с подвохом: другое название этой теоремы — Огромная или Гигантская, потому что ее доказательство занимает в общей сложности около 15 тысяч страниц.